Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3．（2）M（1，－2）．（3 P（1，－4）．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；

（3）若∠PCB=90°，根据△BCO为等腰直角三角形，可推出△CDP为等腰直角三角形，根据线段长度求P点坐标．

（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（﹣1，0），∴B（3，0）；

可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），由于抛物线经过C（0，﹣3），则有：a（0+1）（0﹣3）=﹣3，a=1，∴y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3；

（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；

由于直线BC经过C（0，﹣3），可设其解析式为y=kx﹣3，则有：3k﹣3=0，k=1；

∴直线BC的解析式为y=x﹣3；

当x=1时，y=x﹣3=﹣2，即M（1，﹣2）；

（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；

∵OB=OC=3，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．