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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°OC=2OBtanABC=2,点B的坐标为(10).抛物线y=x2+bx+c经过AB两点.

1)求抛物线的解析式;

2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点PPD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE最大.

①求点P的坐标和PE的最大值.

②在直线PD上是否存在点M,使点M在以AB为直径的圆上;若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x23x+4;(2)①P② M)或(

【解析】

1)先根据已知求点A的坐标,利用待定系数法求二次函数的解析式;

2)①根据A(﹣26),B10),求得AB的解析式为:y=2x+2,设Pa,﹣a23a+4),则Ea,﹣2a+2),利用PE=a23a+4(2a+2)=(a+)2+,根据二次函数的图像与性质即求解;

②根据点M在以AB为直径的圆上,得到∠AMB=90°,即AM2+BM2=AB2,求出AB2故可列出方程求解.

解:(1∵B10

∴OB=1

∵OC=2OB=2

∴BC=3 ,C(﹣20

Rt△ABC中,tan∠ABC=2

=2

∴AC=6

∴A(﹣26),

A(﹣26)和B10)代入y=x2+bx+c得:

解得:

抛物线的解析式为:y=x23x+4

2①∵A(﹣26),B10),

易得AB的解析式为:y=2x+2

Pa,﹣a23a+4),则Ea,﹣2a+2),

∴PE=a23a+4(2a+2)=a2a+2=(a+)2+

a=时,PE=,此时P(,)

②∵M在直线PD上,且P(,)

+

AB2=32+62=45

M在以AB为直径的圆上

此时∠AMB=90°

∴AM2+BM2=AB2

++=45

解得: ,

∴M)或(

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