Question

【题目】定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．

特例感知：

（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；

猜想论证：

（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）①4，②；（2），证明见解析．

【解析】

（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；如图2，过点A作，易证，根据易得结论．

（2）延长到，使得，连接，易证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．

（1）如图1，

∵，

∴

∵，

∴

∴

∵BC=4，

∴，

∵D是的中点，

∴AD=;

如图2，

∵，，

∴

根据“倍旋中线”知等腰三角形，

过A作，垂足为

∴， ，

∵D是等边三角形的边的中点，

且

∴

∴

∴

（2）结论：

理由：如图，延长到，使得，连接，

∵，

∴四边形是平行四边形

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴