Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+2x﹣；（2）；（3）存在最大值，此时P点坐标（，）．

【解析】

（1）将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a和b，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，根据抛物线解析式求出C点坐标，根据勾股定理求出BC的长，再求出AB的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD的长，即为⊙A的半径；（3）先由B,C点坐标求出直线BC解析式，然后过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，因为P在抛物线上，P,Q点横坐标相同，所以可设出P、Q点的坐标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴把A、B两点坐标代入可得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣+2x﹣；

（2）过A作AD⊥BC于点D，

如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，

由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴，即，

解得AD=，

即⊙A的半径为；

（3）∵C（0，﹣），

∴设直线BC解析式为y=kx﹣，

把B点坐标（5,0）代入可求得k=，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，

如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，

所以设P（x，﹣+2x﹣），

则Q（x，x﹣），

∴PQ=（﹣+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣+x=﹣+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ

=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）

=PQOB=PQ

=×[﹣+]

=，

∵<0，∴当x=时，S△PBC有最大值，

把x=代入﹣+2x﹣，

求出P点纵坐标为，

∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（，）．