Question

【题目】如图，O是ABC的边AB上一点，⊙O经过点A、C，交AB于点D．过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接CD，CD恰好平分∠BCE．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，CD＝2，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明∠OCD+∠DCB＝90°，得出∠OCB＝90°，则结论得证；

（2）证明△CDB∽△ACB，得出，设BC＝x，则AB＝2x，DB＝2x﹣6，由BC2＝ABDB得出方程，解方程则可得出答案．

（1）证明：∵CE⊥AB，

∴∠CED＝90°，

∴∠ECD+∠CDE＝90°，

∵OC＝DO，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵CD平分∠BCE，

∴∠ECD＝∠DCB，

∴∠OCD+∠DCB＝90°，

∴∠OCB＝90°，

∴直线BC是⊙O的切线；

（2）∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠CDA＝90°，

∵∠DCB+∠ODC＝90°，

∴∠DCB＝∠CAD，

∵∠CBD＝∠ABC，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴BC2＝ABDB

∵⊙O的半径为3，CD＝2，

∴AC＝＝＝4，

∴＝，

设BC＝x，则AB＝2x，DB＝2x﹣6，

∴x2＝2，

解得x＝，

∴BC＝．