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【题目】已知:如图所示,在平面直角坐标系中,函数是常数)的图象经过点、点,其中,直线轴于点.过点轴的垂线,垂足为,过点轴的垂线,垂足为相交于点,连接

(1)的面积为,求点的坐标;

(2)求证:四边形为平行四边形;

(3),求直线的函数解析式.

【答案】(1);(2)证明见解析;(3)直线的函数解析式为

【解析】

(1)先用待定系数法求出双曲线解析式再用点B在双曲线上得出ab=4,再用面积建立方程a(4﹣b)=4,解方程组即可

(2)先求出直线AB解析式y=﹣bx+b+4,再确定出DEAC即可得到DEAC从而得出结论

(3)由(2)知ABCD结合ADBC即可得出四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形分两种情况计算即可

1)将A(1,4)代入函数m=4,所以y

SABDBDAMa(4﹣b)=4.

Bab)在函数y的图象上,∴ab=4,∴a=3,bB(3,);

(2)∵函数yx>0,m是常数)的图象经过点A(1,4),∴m=4.

Bab)在双曲线上,∴ab=4.

∵直线AB过点A(1,4),Bab),ab=4,设直线AB解析式为yex+f,∴解得e=-bf=b+4,∴直线AB解析式为y=﹣bx+b+4,∴E(0,b+4).

BDyACx,∴D(0,b),∴DEb+4﹣b=4.

A(1,4),∴AC=4,∴DEAC

DEAC∴四边形ACDE为平行四边形

(3)设直线AB的函数解析式为ykx+b

CDABADBC∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形

情况1:四边形ABCD为平行四边形DMMB,∴a﹣1=1,a=2,∴B(2,2).

A(1,4)、B(2,2)在直线AB∴直线AB解析式为y=﹣2x+6;

情况2:四边形ABCD为等腰梯形ACBD,∴a=4,∴B(4,1).

A(1,4)、B(4,1)在直线AB直线AB解析式为y=﹣x+5.

综上所述直线AB的函数解析式为y=﹣2x+6y=﹣x+5.

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(b)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;

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