Question

18．如图正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{2}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OC，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角三角形BCE中，设BE=x，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到EC=2x，再由正方形的边长为4，得到BC为4，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到EC的长．

解答 解：连接OC，

∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
在Rt△BCE中，设BE=x，则CE=2x，又BC=4，
根据勾股定理得：CE²=BC²+BE²，即4x²=x²+4²，
解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=2x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 本题主要考查了切线的性质，涉及正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．