Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，2），抛物线y=ax²+bx+c的图象过点C（1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线和直线AB的函数关系式；
（2）P为线段OA上一个动点，点M为直线AB上一动点，若PM+CM的值最小，求M点和P点的坐标；
（3）P为线段OA上一个动点，Q为第二象限的一个动点，且满足PQ=PA，OQ=OB．若△OPQ为直角三角形，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+c的图象过点C（1，0），并与直线相交于A、B两点，设直线AB的函数关系式为y=kx+b，由直线AB交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，2），利用待定系数法即可求得抛物线和直线AB的函数关系式；
（2）连接CB并延长，使CB=BC′，过C′作CP⊥OA交AB于M，由$\frac{OA}{OB}=2，\frac{OB}{OC}=2$，得到△AOB∽△BOC，根据相似三角形的性质得到∠BAO=∠CBO，求得∠ABO+∠CBO=90°，于是得到AB⊥CC′，推出C与C′关于AB对称，证得C′P=PM+CM的最小值，根据平行线等分线段定理得到OP=OC=1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{3}{2}$，即可得到结论；
（3）由△OPQ为直角三角形，则可判定∠PQO=90°，然后设AP=PQ=a，PO=4-a，由勾股定理可得方程：（4-a）²=a²+2²，继而求得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的图象过点C（1，0），并与直线相交于A、B两点，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+4）（x-1），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{1}{5}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
设直线AB的函数关系式为：y=kx+b，
∵点A（-4，0），点B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$x+2；

（2）连接CB并延长，使CB=BC′，过C′作CP⊥OA交AB于M，
∵A（-4，0），点B（0，2），C（1，0），
∴OA=4，OB=2，OC=1，
∵$\frac{OA}{OB}=2，\frac{OB}{OC}=2$，
∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠BAO=∠CBO，
∴∠ABO+∠CBO=90°，
∴AB⊥CC′，
∴C与C′关于AB对称，
∴C′P=PM+CM的最小值，
∵C′P⊥x轴，BO⊥x轴，
∴C′P∥BO，
∵BC=BC′，
∴OP=OC=1，
把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x+2得：y=$\frac{3}{2}$，
∴P（-1，0），M（-1，$\frac{3}{2}$）；

（3）∵△OPQ为直角三角形，
①若∠POQ=90°，则点Q在y轴上，
∵Q为第二象限的一个动点，
∴矛盾，
∴∠POQ≠90°；
②若∠QPO=90°，
则PA=PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ=OB=2，PO＜2，
∴OA=OP+PA＜4，
∵OA=4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO=90°，设AP=PQ=a，PO=4-a，
∴（4-a）²=a²+2²，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
∴PO=4-a=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为：（-$\frac{5}{2}$，0）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，求点的坐标，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．