Question

10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4D．
（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图象，可得A的坐标，再根据二次函数的对称性，可得B点的坐标；
（2）根据（1）的三个点的坐标，将其代入方程，并求解可得解析式；

解答 解：（1）因为A，C两点的横坐标分别为1，4，
所以点A（1，0）．
又因为点A，B关于对称轴x=4对称，所以点B（7，0）．

（2）∵A（1，0），B（7，0）在抛物线y=ax²+bx-7上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-7=0}\\{49a+7b-7=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+8x-7；

（3）设存在P（x，y）使得∠BAP=45°
①P在x轴上方的时候，作PE⊥x轴于E，则x-1=y
即：x-1=-x²+8x-7
x=6或x=1（舍去）；
②P在x轴下方的时候，作PF⊥x轴于F，则x-1=-y
即：x-1=-x²+8x-7
x=8或x=-7（舍去）
∴存在点P（6，5）或P（8，-7）使得∠BAP=45°．

点评 此题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法以及函数图象上点的坐标意义等知识，属于基础知识，难度不大．