Question

13．如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程．

Answer 1

分析 （1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=$\frac{1}{2}$BC，ME=$\frac{1}{2}$BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME即可．

解答 （1）证明：连结DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，
∴∠BDC=90°，∠BEC=90°，
∵M是线段BC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC，EM=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=EM，
∵N是线段DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∠DME=180°-2∠A，
证明：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）
=360°-2（∠ABC+∠ACB）
=360°-2（180°-∠A）
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．