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【题目】如图,已知四边形ABCD内接于⊙OECB的延长线上,连结ACAEACB=BAE=45°

1)求证:AE是⊙O的切线;

2)若AB=ADAC=tanADC=3BE的长

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析:(1)连接OAOB,由圆周角定理得出∠AOB=2ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=OBA=45°,求出∠OAE=OAB+BAE=90°,即可得出结论;2过点AAFCD于点F,AB=AD得到∠ACD=ACB=45°RtAFC中可求得AF3RtAFD中求得DF1,所以AB CD= CF+DF=4,再证明△ABE∽△CDA,得出,即可求出BE的长度;

试题解析:

1)证明:连结OAOB

∵∠ACB=45°

∴∠AOB=2ACB= 90°

OA=OB

∴∠OAB=OBA=45°

∵∠BAE=45°

∴∠OAE=OAB+BAE=90°

OAAE

∵点A在⊙O上,

AE是⊙O的切线.

2)解:过点AAFCD于点F,则∠AFC=AFD=90°

AB=AD

=

∴∠ACD=ACB=45°

RtAFC中,

AC=ACF=45°

AF=CF=AC·sinACF =3

∵在RtAFD中, tanADC=

DF=1

CD= CF+DF=4

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠ABE=CDA

∵∠BAE=DCA

∴△ABE∽△CDA

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