Question

8．如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）和$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$均为三角形数，且a≤b≤c，则$\frac{a}{c}$的取值范围是$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

Answer 1

分析 方法一、由（a，b，c）和$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$均为三角形数，得出a+b＞c和$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，联立两式，即可得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，再由a≤b≤c，得出$\frac{a}{c}≤1$，即可得出结论；
方法二、设$\frac{a}{c}=k$，同方法一即可得出结论．

解答 解：方法一、∵（a，b，c）为三角形数，
∴a+b＞c．
∴b＞c-a，
∴$\frac{1}{b}＜\frac{1}{c-a}$，
∵$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$为三角形数，
∴$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＜\frac{1}{c-a}+\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{c-a}+\frac{1}{c}$，
两边同时乘以a（a＞0），得，$1＜\frac{a}{c-a}+\frac{a}{c}$，
即$\frac{c-a}{c}＜\frac{a}{c-a}$，
化简得，a²-3ac+c²＜0，
两边除以c²得，${（{\frac{a}{c}}）^2}-3（\frac{a}{c}）+1＜0$，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$
∵a≤b≤c，
∴$\frac{a}{c}≤1$，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜\frac{a}{c}≤1$；
故答案为：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

方法二、设$\frac{a}{c}=k$，
∵（a，b，c）为三角形数，
∴a+b＞c，
∴b＞c-a，
∴b＞（1-k）c，
∴$\frac{1}{b}＜\frac{1}{（1-k）c}$，
∵$（\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}）$为三角形数，
∴$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＜\frac{1}{（1-k）c}+\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}＜\frac{1}{（1-k）c}+\frac{1}{c}$，
化简得，k²-3k+1＜0，
解得$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜k＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$，
∵a≤b≤c，
∴k≤1，
∴$\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}＜k≤1$，
故答案为：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}＜\frac{c}{a}≤1$．

点评 此题是三角形边角关系，主要考查了新定义，三角形的两边之和第三边，解本题的关键是列出a+b＞c和$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}＞\frac{1}{a}$两个不等式，对这两个式子的化简是解本题的难点．