Question

如图，已知等腰三角形ADC，AD=AC，B是线段DC上的一点，连接AB，且有AB=DB．
（1）若△ABC的周长是15厘米，且

AB

AC

=

2

3

，求AC的长；
（2）若

AB

DC

=

1

3

，求tanC的值．

Answer 1

分析：（1）由AD=AC，AB=DB，可推出△DAB∽△DCA．相似比为

AD

DC

=

AB

AC

=

2

3

，3AD=2DC．因为DB+BC+AC=15cm．故DC+AC=15cm．AC=6cm；
（2）由于

AB

DC

=

1

3

，AB=DB，故BC=2AB．DC=3AB．由（1）△DAB∽△DCA，相似比为

AB

AC

=

AD

DC

，故AC²=3AB²．由BC=2AB，得BC²=4AB²．由勾股定理得△ABC是直角三角形．∠BAC=90度．故tanC=

AB

AC

=

3

3

．

解答：解：（1）∵AD=AC，
∴∠D=∠C．
又∵AB=DB，
∴∠D=∠DAB．
∴∠DAB=∠D=∠C．（1分）
又∵∠D=∠D，
∴△DAB∽△DCA．（1分）
∴

AD

DC

=

AB

AC

=

2

3

．（1分）
∴3AD=2DC．
即3AC=2DC．
∵△ABC的周长是15厘米，
即AB+BC+AC=15cm，
则有DB+BC+AC=15cm．
∴DC+AC=15cm．（1分）
∴AC=6cm．（1分）

（2）∵

AB

DC

=

1

3

，AB=DB，
即有BC=2AB，（1分）
且DC=3AB，
由（1）△DAB∽△DCA，
∴

AB

AC

=

AD

DC

．
∴AC²=3AB²．（1分）
由BC=2AB，得BC²=4AB²．
∴AB²+AC²=BC²．
∴△ABC是直角三角形．（1分）
且∠BAC=90°．
∴tanC=

AB

AC

=

3

3

．（1分）

点评：此题考查的是相似三角形的性质及直角三角形的判定定理，是中学阶段的基本题目．