Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA，OB的长分别是一元二次方程x²-18x+72=0的两个根，且OA＞OB；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同，设OP=x（0≤x≤6），设△POM的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在矩形的对角线AB上，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先解一元二次方程，求出OA、OB的值，再利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式．
（2）主要考虑两种情况，就是两条直角边互换对应边．
（3）△POM面积最大，根据（1）中的函数式可求出x的值，由此得到OP的值，从而可知四边形MOPD是正方形，那么DM=3，若D在AB上，利用比例线段可求出DM=6，所以可以知道D不在AB上．

解答：解：（1）解二次方程x²-18x+72=0得，x₁=6，x₂=12，根据题意知，OA=12，OB=6．
S_△POM=

1

2

×OM×OP=

1

2

×（6-x）•x=-

1

2

x²+3x，
即y=-

1

2

x²+3x．

（2）主要考虑有两种情况，一种是△MOP∽△BOA，
那么有

OP

OA

=

OM

OB

，即，

x

12

=

6-x

6

，解得，x=4；
一种是△POM∽△BOA，
那么有

OP

OB

=

OM

OA

，即，

x

6

=

6-x

12

，解得，x=2，
所以当x=2或x=4时，以P、O、M为顶点的三角形与△AOB相似．

（3）由（1）得，y=-

1

2

x²+3x，可以知道，当x=-

b

2a

=3时，y有最大值．
即OP=3，
∵OP=3，
∴OM=6-x=3，
∴△MOP是等腰直角三角形．根据题意，
以对角线MP为对称轴得到△MDP与△MOP全等，且四边形MOPD是正方形，
所以DM=3，MD∥OA，
若D在对角线AB上，必须有

BM

OB

=

DM

OA

，
即，DM=

BM

OB

×OA=

3

6

×12=6，
∵DM=6≠3，
∴点D不在对角线AB上．

点评：本题利用了解一元二次方程，三角形的面积公式，相似三角形的性质，正方形的判定，平行线分线段成比例性质等知识．