Question

19．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，以AC为边作等边△ACD，连接BD．
（1）求∠BDC的度数；
（2）如图2，将△BCD沿直线BC折叠得△BCE，点D关于直线BC对称点为E，连接AE，交BD于F，交BC于G，试判断FG与GE的数量关系，并给与证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，由△ACD是等边三角形，得到∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，于是得到∠BAD=150°，由于AB=AD，于是得到∠ADB=∠ABD=15°，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到∠BEC=∠BDC=45°，∠BCE=∠BCD=45°+60°=105°，求出∠DBC=∠EBC=30°，证得∠BFG=90°，于是求得FG=$\frac{1}{2}$BG，然后根据等腰三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=150°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=15°，
∴∠BDC=45°；

（2）∵将△BCD沿直线BC折叠得△BCE，
∴∠BEC=∠BDC=45°，∠BCE=∠BCD=45°+60°=105°，
∴∠DBC=∠EBC=30°，
∵AC=CD=CE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=150°，
∴∠CEG=15°，
∴∠GEB=30°，
∴∠FGB=60°
∴∠BFG=90°，
∴FG=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠GBE=∠DBC=∠GEB=30°，
∴BG=GE，
∴FG=$\frac{1}{2}$GE．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．