Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC．
（2）若PC=2 ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，

∵OB=OP，

∴∠OPB=∠OBP，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠OBP=∠APC，

∵AB与⊙O相切于点B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，

∵OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∴∠ACB+∠APC=90°，

∴∠ABP=∠ACB，

∴AB=AC

（2）证明：设⊙O的半径为r，

在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，

AC2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

∵AB=AC，

∴52﹣r2=（2 ）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

则⊙O的半径为3．

【解析】（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC；（2）设⊙O的半径为r，分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得52﹣r2=（2 ）2﹣（5﹣r）2 ， 求出r的值即可．