【题目】如图1,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:△BDE∽∠ADB;
(2)试判断直线DF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,条件不变,若BC恰好是⊙O的直径,且AB=6,AC=8,求DF的长.
【答案】
(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠DBC=∠BAD,
∵∠BDE=∠ADB,
∴△BDE∽∠ADB
(2)相切.
理由:如图1,连接OD,
∵∠BAD=∠DAC,
∴ = ,
∴OD⊥BC,
∵DF∥BC,
∴OD⊥DF,
∴DF与⊙O相切
(3)如图2,过点B作BH⊥AD于点H,连接OD,
则∠BH
D=90°,
∵BC是直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠BHD=∠BAC,
∵∠BDH=∠C,
∴△BDH∽△BCA,
∴ = ,
∵AB=6,AC=8,
∴BC= =10,
∴OB=OD=5,
∴BD= =5 ,
∴ = ,
∴BH=3 ,
∴DH= =4 ,AH= =3 ,
∴AD=AH+DH=7 ,
∵DF与⊙O相切,
∴∠FDB=∠FAD,
∵∠F=∠F,
∴△FDB∽△FAD,
∴ = = = ,
∴AF= DF,BF= DF,
∴AB=AF﹣BF= DF﹣ DF=6,
解得:DF= .
【解析】(1)由AD平分∠BAC,易得∠BAD=∠CAD=∠CBD,又由∠BDE是公共角,即可证得:△BDE∽∠ADB;(2)首先连接OD,由AD平分∠BAC,可得 = ,由垂径定理,即可判定OD⊥BC,又由BC∥DF,证得结论;(3)首先过点B作BH⊥AD于点H,连接OD,易证得△BDH∽△BCA,然后由相似三角形的对应边成比例,求得BH的长,继而求得AD的长,然后证得△FDB∽△FAD,又由相似的性质,求得答案.
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【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)求证:AB=AC.
(2)若PC=2 ,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,其中点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),点D为对角线OB上一个动点(不包括端点),∠BCD的平分线交OB于点E.
(1)求线段OB所在直线的函数表达式,并写出CD的取值范围.
(2)当∠BCD的平分线经过点A时,求点D的坐标.
(3)点P是线段BC上的一个动点,求CD十DP的最小值.
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【题目】如图,在△ABD中,AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如果OA,OB(OA>OB)的长(单位:米)是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根,求AB的长以及菱形ABCD的面积;
(3)若动点M从A出发,沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发,沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D,当M运动到C点时运动停止.若M、N同时出发,问出发几秒钟后,△MON的面积为 ?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,P为AD上一点,连接BP,CP,过C作CE⊥BP于点E,连接ED交PC于点F.
(1)求证:△ABP∽△ECB;
(2)若点E恰好为BP的中点,且AB=3,AP=k(0<k<3).
①求 的值(用含k的代数式表示);
②若M、N分别为PC,EC上的任意两点,连接NF,NM,当k= 时,求NF+NM的最小值.
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【题目】已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,现按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,a为半径(a> AC)作弧,两弧分别交于M,N两点;
②过M,N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E;
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°,设点D的像为点F.
(1)请在图中直线标出点F并连接CF;
(2)求证:四边形BCFD是平行四边形;
(3)当∠B为多少度时,四边形BCFD是菱形.
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【题目】如图,点A(3,2)和点M(m,n)都在反比例函数y= (x>0)的图象上.
(1)求k的值,并求当m=4时,直线AM的解析式;
(2)过点M作MP⊥x轴,垂足为P,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,直线AM交x轴于点Q,试说明四边形ABPQ是平行四边形;
(3)在(2)的条件下,四边形ABPQ能否为菱形?若能,请求出m的值;若不是,请说明理由.
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【题目】若关于x的一元二次方程﹣x2+2ax+2﹣3a=0的一根x1≥1,另一根x2≤﹣1,则抛物线y=﹣x2+2ax+2﹣3a的顶点到x轴距离的最小值是 .
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