Question

【题目】如图，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的长（单位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积；
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为 ？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2﹣7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB= =5，

S菱形ABCD= AC×BD= ×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为 ，

当点M在OA上时，x＜2，S△MON= （4﹣2x）（3﹣x）= ；

解得x1= ，x2= （大于2，舍去）；

当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON= （3﹣x）（2x﹣4）= ，

解得x1=x2= ；

当点M在OC上且点N在OD上时，即3＜x≤4，S△MON= （2x﹣4）（x﹣3）= ；

解得x1= ，x2= （小于3，舍去）．

综上所述：M，N出发 秒， 秒， 秒钟后，△MON的面积为

【解析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质和菱形的判定方法，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形即可以解答此题．