Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）如图1，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；

（2）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．

（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，

∵∠B＝90°，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∴∠AME＝135°

∵CF是正方形的∠C外角的平分线，

∴∠ECF=90°+45°=135°

∴∠AME＝∠ECF，

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF,

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：取AB中点M，连接EM，

∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，

∴AM＝CE＝BE，

∴∠BME＝∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△AME和△ECF中

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴EM＝CF，

∵AB＝2，点E是边BC的中点，

∴BM＝BE＝1，

∴CF＝ME＝．