Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解题．
（2）连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题．

解答：证明：（1）∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴BD=AD，
在△ADC和△BDC中，

BC=AC ∠CBD=∠CAD BD=AD

，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=60°，
∵∠CDE=∠BDE=60°，
∴DE平分∠BDC；
（2）ME=BD，
连接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△MCD为等边三角形，
∴CM=CD，
∵EC=CA，∠EMC=120°，
∴∠ECM=∠BCD=45°
在△BDC和△EMC中，

DC=CM ∠ECM=∠BCD CE=BC

，
∴△BDC≌△EMC（SAS），
∴ME=BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADC≌△BDC是解题的关键．