Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，延长CA到D，使AD=AB，连接BD．
（1）求∠D的度数；
（2）求tanD的值；
（3）利用上面的结果计算：tan22.5°•cos45°+

(sin45°-tan22.5°)2

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）先判断△ACB为等腰直角三角形，则∠BAC=45°，根据等腰三角形的性质由AB=AD得∠D=∠ABD，在利用三角形外角性质可计算出∠D=

1

2

∠BAC=22.5°；
（2）由于△ACB为等腰直角三角形，则AB=

2

AC=

2

a，所以AD=

2

a，则CD=DA+AC=（

2

+1）a，然后在Rt△BDC中利用正切的定义求解；
（3）先根据二次根式的性质化简得到原式=tan22.5°•cos45°+|sin45°-tan22.5°|，再把（2）中的计算结果和45°的正余弦值代入进行计算即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC=a，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD，
∴∠D=

1

2

∠BAC=22.5°；
（2）∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

AC=

2

a，
∴AD=

2

a，
∴CD=DA+AC=（

2

+1）a，
在Rt△BDC中，tanD=

BC

DC

=

a

( 2 +1)a

=

2

-1；
（3）原式=tan22.5°•cos45°+|sin45°-tan22.5°|
=（

2

-1）•

2

2

+|

2

2

-（

2

-1）|
=1-

2

2

+1-

2

2

=2-

2

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．