Question

6．已知点P是等边△ABC外接圆上的点（不与顶点重合），连接PA，PB，过点C作CE∥BP，交直线PA于点E．若PA=1，PB=2，则四边形PBCE的面积为$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理、平行线的性质和等边三角形的性质证明△ACE≌△BCP，得到CE=CP，AE=BP，根据等边三角形的判定得到△PCE为等边三角形，求出CE的长，根据四边形的面积公式计算即可．

解答 解：∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵CE∥BP，
∴∠BPE+∠E=180°，∠PCE=∠BPC=60°，
∴∠E=180°-∠BPE=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠E=∠BPC=60°，
∵∠PCE-∠ACP=∠BCA-∠ACP，
∴∠ACE=∠BCP，
在△ACE和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠BPC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCP}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCP（AAS），
∴CE=CP，AE=BP，
又∵∠E=60°，
∴△PCE为等边三角形，
∴CE=CP=PE=1+2=3，
作PH⊥CM于H，如图所示：
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴四边形PBCE的面积为=$\frac{1}{2}$（PB+CE）×PH=$\frac{1}{2}$（2+3）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$=$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及等边三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等、等边三角形的三个内角都是60°．