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【题目】如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.

【答案】
(1)证明:∵∠A=∠ABC=90°,

∴BC∥AD,

∴∠CBE=∠DFE,

在△BEC与△FED中,

∴△BEC≌△FED,

∴BE=FE,

又∵E是边CD的中点,

∴CE=DE,

∴四边形BDFC是平行四边形;


(2)解:①BC=BD=3时,由勾股定理得,AB= = =2

所以,四边形BDFC的面积=3×2 =6 ;②BC=CD=3时,过点C作CG⊥AF于G,则四边形AGCB是矩形,所以,AG=BC=3,所以,DG=AG﹣AD=3﹣1=2,由勾股定理得,CG= = = ,所以,四边形BDFC的面积=3× =3 ;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;综上所述,四边形BDFC的面积是6 或3


【解析】(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可;(2)分①BC=BD时,利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解;②BC=CD时,过点C作CG⊥AF于G,判断出四边形AGCB是矩形,再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾.

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