【题目】在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,如图1,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,则正方形DEFG的边长为_____.如图2,若三角形ABC内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为_____.
【答案】;
【解析】
(1)根据题意画出图形,作CN⊥AB,再根据GF∥AB,可知△CGF∽△CAB,由相似三角形的性质即可求出正方形的边长;
(2)①作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N,同(1)可知,△CGF∽△CAB,根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长;
②方法与①类似;③作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N,同(1)可知,△CGF∽△CAB,根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长;
解:(1)在图1中,作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N.
在Rt△ABC中,
∵AC=4,BC=3,∴AB=5,
∴ABCN=BCAC,∴CN=,
∵GF∥AB, ∴△CGF∽△CAB,
∴CM:CN=GF:AB,
设正方形边长为x,
则 ∴x= ;
故答案为:
(2)①在图2中,作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N.
∵GF∥AB, ∴△CGF∽△CAB,
∴CM:CN=GF:AB,
设每个正方形边长为x,则
∴x=.
②类比①,在图3中,
∵△CGF∽△CAB,
∴CM:CN=GF:AB,
设每个正方形边长为x,则
∴x=.
③在图4中,过点C作CN⊥AB,垂足为N,交GF于点M,
∵△CGF∽△CAB,
∴CM:CN=GF:AB,
设每个正方形边长为x,则,
∴x=.
故答案为:
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【题目】天塔是天津市的标志性建筑之一,某校数学兴趣小组要测量天塔的高度,如图,他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°,再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB=112m,根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73,结果保留整数).
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【题目】(1)如图是一个组合几何体,右边是它的两种视图,在右边横线上填写出两种视图的名称;
视图 视图
(2)根据两种视图中尺寸(单位:cm),计算这个组合几何体的表面积.(π取3.14)
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点的距离是10?
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【题目】阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,指出点P、Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
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【题目】如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向,已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈,≈1.41)
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【题目】为推进我市生态文明建设,某校在美化校园活动中,设计小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为216m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是17m和8m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
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