Question

15．如图，等边△ABC的边长为4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB-BC的方向向点C移动，若△APQ的面积为S（cm²），则下列最能反映S（cm²）与移动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 当点Q在AB上时，根据题意可知△APQ为直角三角形，然后根据三角形的面积公式列出函数关系式，当点Q在BC上时，△QAP为直角三角形，然后根据三角形的面积公式可求得S与t的函数关系式．

解答 解：当点Q在AB上时，如图1所示：

∵QA=2t，PA=t，
∴$\frac{AP}{QA}$=$\frac{1}{2}$．
∵∠A=60°，
∴cos∠A=$\frac{1}{2}$．
∴cos∠A=$\frac{AP}{AQ}$．
∴QP⊥AP．
∴△APQ为直角三角形．
∵AP=t，∠A=60°，
∴QP=$\sqrt{3}t$．
∴${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}AP•QP$=$\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}t$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$（0＜t≤2）．
当点Q在AB上时，如图2所示：

由题意可知：AP=t，PC=（4-t），
∵QC=8-2t，PC=4-t，
∴$\frac{PC}{QC}=\frac{1}{2}$．
∵∠C=60°，
∴cos∠C=$\frac{1}{2}$．
∴cos∠C=$\frac{QC}{PC}$．
∴QP⊥PC．
∴PQ=tan∠C•PC=$\sqrt{3}$（4-t）．
∴${S}_{△AQP}=\frac{1}{2}AP•QP$=$\frac{1}{2}×t×\sqrt{3}（4-t）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t$．
故选：B．

点评 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据题意求得△APQ的面积与t的函数关系式是解题的关键．