Question

20．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=BA．
（1）求证：以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切；
（2）若AD=5，CD=2，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，过A作AM⊥BC于M，求出∠DCA=∠ACB，根据角平分线性质求出AD=AM，根据切线的判定得出即可；
（2）如图2，过C作CN⊥AB于N，根据勾股定理得出方程，求出AB，根据梯形的面积公式求出即可．

解答 （1）证明：如图1，过A作AM⊥BC于M，

∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵BC=BA，
∴∠CAB=∠ACB，
∴∠DCA=∠ACB，
∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴AD⊥DC，
∴AD=AM，
∵AM⊥BC，
∴以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切；

（2）解：如图2，过C作CN⊥AB于N，

∵AD⊥AB，AD⊥DC，
∴∠CNB=90°，∠CDA=∠DAN=∠ANC=90°，
∴四边形ADCN是矩形，
∴AD=NC=5，CD=AN=2，
由勾股定理得：CN²+BN²=BC²，
5²+（AB-2）²=AB²，
解得：AB=$\frac{29}{4}$．
∴梯形ABCD的面积是$\frac{1}{2}$×（CD+AB）×AD=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{29}{4}$）×5=$\frac{185}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．