Question

【题目】已知和都是等腰三角形，，，．

（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则__________．（填＞、＜或=）

（2）发现证明：如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：．

（深入研究）（3）如图③，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，则的度数为__________；线段，之间的数量关系为__________．

（4）如图④，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，则的度数为__________；线段，，之间的数量关系为__________．

（拓展提升）（5）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，连结、．当，时，在旋转过程中，与的面积和的最大值为__________．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7

【解析】

（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；

（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；

（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；

（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．

[初步感知]（1）∵DE∥BC，

∴，

∵AB=AC，

∴DB=EC，

故答案为：=，

（2）成立．

理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE；

[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠BOD=∠AOC，

∴∠BDC=∠BAC=60°；

（4）∵△DAE是等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∴∠AEC=135°，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，

∵∠ADE=45°，

∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，

∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，

∴AM=EM=MD，

∴AM+BD=CM；

故答案为：90°，AM+BD=CM；

【拓展提升】

（5）如图，

由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，

△ADE与△ADC面积的和达到最大，

∴△ADC面积最大，

∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，

∴要△ADC面积最大，

∴点D到AC的距离最大，

∴DA⊥AC，

∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+×AC×AD=5+2=7，

故答案为7．