【题目】已知和
都是等腰三角形,
,
,
.
(初步感知)(1)特殊情形:如图①,若点,
分别在边
,
上,则
__________
.(填>、<或=)
(2)发现证明:如图②,将图①中的绕点
旋转,当点
在
外部,点
在
内部时,求证:
.
(深入研究)(3)如图③,和
都是等边三角形,点
,
,
在同一条直线上,则
的度数为__________;线段
,
之间的数量关系为__________.
(4)如图④,和
都是等腰直角三角形,
,点
、
、
在同一直线上,
为
中
边上的高,则
的度数为__________;线段
,
,
之间的数量关系为__________.
(拓展提升)(5)如图⑤,和
都是等腰直角三角形,
,将
绕点
逆时针旋转,连结
、
.当
,
时,在旋转过程中,
与
的面积和的最大值为__________.
【答案】(1)=;(2)证明见解析;(3)60°,BD=CE;(4)90°,AM+BD=CM;(5)7
【解析】
(1)由DE∥BC,得到,结合AB=AC,得到DB=EC;
(2)由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC,得到DB=CE;
(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC,根据全等三角形的性质求出结论;
(4)根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论;
(5)根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变,而在旋转的过程中,△ADC的AC始终保持不变,即可.
[初步感知](1)∵DE∥BC,
∴,
∵AB=AC,
∴DB=EC,
故答案为:=,
(2)成立.
理由:由旋转性质可知∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴DB=CE;
[深入探究](3)如图③,设AB,CD交于O,
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴DB=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠BOD=∠AOC,
∴∠BDC=∠BAC=60°;
(4)∵△DAE是等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∴∠AEC=135°,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴∠ADB=∠AEC=135°,BD=CE,
∵∠ADE=45°,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°,
∵△ADE都是等腰直角三角形,AM为△ADE中DE边上的高,
∴AM=EM=MD,
∴AM+BD=CM;
故答案为:90°,AM+BD=CM;
【拓展提升】
(5)如图,
由旋转可知,在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变,
△ADE与△ADC面积的和达到最大,
∴△ADC面积最大,
∵在旋转的过程中,AC始终保持不变,
∴要△ADC面积最大,
∴点D到AC的距离最大,
∴DA⊥AC,
∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+×AC×AD=5+2=7,
故答案为7.
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【题目】如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=15,CF=8,求△AEF的面积.
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【题目】中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注.某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度,对该校部分学生进行了随机抽样调查,并绘制出如图所示的两幅统计图.在条形图中,从左向右依次为A类(非常喜欢),B类(较喜欢),C类(一般),D类(不喜欢).已知A类和B类所占人数的比是5:9,请结合两幅统计图,回答下列问题:
(1)写出本次抽样调查的样本容量;
(2)请补全两幅统计图;
(3)若该校有2000名学生.请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数.
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【题目】下列实验中,概率最大的是【 】
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面;
B. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6),掷出的点数为奇数;
C. 在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张,恰好为方块;
D. 三张同样的纸片,分别写有数字2,3,4,和匀后背面朝上,任取一张恰好为偶数
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【题目】某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
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【题目】学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】定义一种新运算“a*b”:当a≥b时,a*b=a+2b;当a<b时,a*b=a-2b.
例如:3*(-4)=3+(-8)=-5,(-6)*12=-6-24=-30
(1)填空:(-4)*3= .
(2)若(3x-4)*(x+6)=(3x-4)+2(x+6),则x的取值范围为 ;
(3)已知(3x-7)*(3-2x)<-6,求x的取值范围;
(4)小明在计算(2x2-4x+8)*(x2+2x-2)时随意取了一个x的值进行计算,得出结果是-4,小丽告诉小明计算错了,问小丽是如何判断的.
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【题目】在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根
据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 名同学;
(2)条形统计图中,m= ,n= ;
(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 度;
(4)学校计划购买课外读物6000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?
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