Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，则正方形的边长=

 

；
 （2）如图②，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长=

 

；
（3）如图③，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长=

 

；
（4）如图④，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：规律型

分析：（1）过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，由条件可求得AB=5，CM=2.4，由GF∥AB可得

CN

CM

=

GF

AB

，设正方形的边长为x，则GF=MN=x，则CN=CM-MN=2.4-x，代入可求得x的值，即得出正方形的边长；
（2）同理可过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，此时设正方形的边长为x，则GF=2x，MN=x，CN=2.4-x，代入可求得x的值；
（3）同（2）可得出GF=3x，CN=2.4-x，代入可求得x的值；
（4）同（2）可得出GF=nx，CN=2.4-x，代入可求得x的值．

解答：解：（1）如图①，过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，CM=2.4，
∵GF∥AB可，
∵

CN

CM

=

GF

AB

，
设正方形的边长为x，则GF=MN=x，CN=CM-MN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

x

5

，
解得x=

60

37

，即正方形的边长为

60

37

，
故答案为：

60

37

；
（2）如图②，过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，
同理可得GF=2x，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

2x

5

，解得x=

60

49

，即正方形的边长为

60

49

，
故答案为：

60

49

；
（3）如图③，过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，
同理可得GF=3x，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

3x

5

，解得x=

60

61

，即正方形的边长为

60

61

，
故答案为：

60

61

；
（4）如图④，过C作CM⊥AB交AB于点M，交GF于点N，
同理可得GF=nx，CN=2.4-x，
∴

2.4-x

2.4

=

nx

5

，解得x=

60

12n+25

，即正方形的边长为

60

12n+25

，
故答案为：

60

12n+25

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，在（1）中利用条件找到GF和CM之间的比例关系是解题的关键，后面的解题过程可以类比（1）可得到答案．