Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒），是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 可通过构建相似三角形来求解．延长PD交BC于M，通过相似三角形QMD和三角形ABC得出的关于OD，QM，AC，AB的比例关系式，可得出QM的表达式，然后根据PD∥AB得出的关于CP，CA，CM，CB的比例关系式求出t的值

解答 解：设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而$\frac{QM}{AB}$=$\frac{QD}{AC}$，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∴QM=$\frac{20}{3}$．
若PD∥AB，则$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CM}{CB}$，
得$\frac{12-3t}{12}$=$\frac{4t+\frac{20}{3}t}{16}$，
解得t=$\frac{12}{11}$．
∴当t=$\frac{12}{11}$秒时，PD∥AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，本题是一道动态几何题，综合性较强，计算量比较大，其中确定出PD∥AB时t的值是解题的关键．