Question

14．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，此时△AEF≌△AE′F′，∠FAF′=∠EAE′=α，连结CE′，BF′，当α=36°或72°时，CE′∥AB．

Answer 1

分析 把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．

解答 解：在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．