Question

（1）已知；△ABC中，BD、CE是∠B、∠C的角平分线，并交于点O．求证：∠BOC=90°+

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∠A．
（2）将上题中内角改成外角平分线，如图2，∠BOC与∠A有何关系，请你探究及证明．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO=

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（∠A+∠ABC）、∠OBC=

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（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°-

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∠A．

解答：（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=

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（180°-∠A）=90°-

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∠A，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-（90°-

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∠A）=90°+

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∠A；

（2））∠BOC=90°-

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∠A．
证明：∵BO、CO为△ABC两外角∠CBE、∠BCF的平分线，∠A为x°
∴∠BCO=

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（∠A+∠ABC）、∠OBC=

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（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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（∠A+180°），
=90°-

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∠A．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．