Question

如图，已知一次函数y=-

3

4

x+3的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在AB上以1个单位/s的速度从点B向A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向O运动，运动时间用t（s）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD和△AOB相似？
（3）求出（2）中当△ACD和△AOB相似时，CD所在直线的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由直线的解析式可求出A、B点的坐标，得到OA、OB的大小，利用勾股定理可求得AB的长；
（2）要求t的值，可根据相似得到比例式，代入数值求得t值；
（3）求出三角形相似时C、D的坐标，利用待定系数法求得答案．

解答：解：（1）由已知得A（4，0），B（0，3）
∴OA=4，OB=3
∴AB=

32+42

=5．

（2）当

AC

AB

=

AD

AO

或

AC

OA

=

AD

AB

时两三角形相似，
即

5-t

5

=

t

4

或

5-t

4

=

t

5

解得t=

20

9

或t=

25

9

．

（3）当t=

20

9

时，直线CD的解析式为直线x=4-

20

9

=

16

9

，
当t=

25

9

时，直线CD的解析式为y=

4

3

x-

44

27

．

点评：本题考查了一次函数的综合运用；第二、三小问的求解中，要注意分情况讨论，在做此类问题时要思考全面，不能遗漏．