Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线m：y=kx过原点，直线n：y=$\frac{1}{2}$x+4与y轴交于点A，与直线m交于点B（8，8），x轴上一点P（t，0）从原点出发沿x轴向右运动，过点P作直线PM⊥x轴，分别交直线m，n与点M，N，连接ON．
（1）求k的值；
（2）当0≤t≤8时，用含t的代数式表示△OMN的面积S；
（3）在整个运动过程中，△OMN的面积S等于12吗？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，以MN为直径的圆与y轴相切？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：当0≤t≤8时，当t＞8时，根据三角形的面积，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（4）分类讨论：当0≤t≤8时，当t＞8时，根据相切，可得OP与MN的关系，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将B点（8，8）代入y=kx，得
k=$\frac{y}{x}$=1；
（2）当x=t时，y=$\frac{1}{2}$t+4，即N（t，$\frac{1}{2}$t+4）；y=t，即M（t，t）．
NM=$\frac{1}{2}$t+4-t=4-$\frac{1}{2}$t，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OP=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{t}{2}$）•t=2t-$\frac{1}{4}$t²；
（3）当0≤t≤8时，S_△OMN=2t-$\frac{1}{4}$t²=12，
化简，得
t²-8t+48=0，
△=b²-4ac=64-4×48=-128，
方程无解；
当t＞8时，S_△OMN=$\frac{1}{4}$t²-2t=12，
解得t=12，t=-4（不符合题意舍），
综上所述：t=12时，△OMN的面积S等于12；
（4）以MN为直径的圆与y轴相切，得
2OP=MN．
当0≤t≤8时，2t=4-$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{8}{5}$，
即t=$\frac{8}{5}$时，以MN为直径的圆与y轴相切；
当t＞8时，2t=$\frac{1}{2}$t-4，
解得t=-$\frac{8}{3}$（不符合题意舍），
综上所述：当t=$\frac{8}{5}$时，以MN为直径的圆与y轴相切．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，直线与圆相切的关系，分类讨论是阶梯关键，以防遗漏．