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【题目】如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:

①CE=CF

线段EF的最小值为

AD=2时,EF与半圆相切;

若点F恰好落在B C上,则AD=

当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是

其中正确结论的序号是

【答案】①③⑤

【解析】试题分析:连接CD,如图1所示,E与点D关于AC对称,∴CE=CD∴∠E=∠CDE∵DF⊥DE∴∠EDF=90°∴∠E+∠F=90°∠CDE+∠CDF=90°∴∠F=∠CDF∴CD=CF∴CE=CD=CF结论“CE=CF”正确;

CDAB时,如图2所示,AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°AB=8CBA=30°∴∠CAB=60°AC=4BC=CDABCBA=30°CD=BC=.根据点到直线之间,垂线段最短可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为CE=CD=CFEF=2CD线段EF的最小值为结论线段EF的最小值为错误;

AD=2时,连接OC,如图3所示,∵OA=OC∠CAB=60°∴△OAC是等边三角形,∴CA=CO∠ACO=60°∵AO=4AD=2∴DO=2∴AD=DO∴∠ACD=∠OCD=30°E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA∴∠ECA=30°∴∠ECO=90°∴OC⊥EF∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF∴EF与半圆相切,结论“EF与半圆相切正确;

当点F恰好落在上时,连接FBAF,如图4所示,E与点D关于AC对称,EDAC∴∠AGD=90°∴∠AGD=ACBEDBC∴△FHC∽△FDEFHFD=FCFEFC=EFFH=FDFH=DHDEBC∴∠FHC=FDE=90°BF=BD∴∠FBH=DBH=30°∴∠FBD=60°AB是半圆的直径,∴∠AFB=90°∴∠FAB=30°FB=AB=4DB=4AD=AB﹣DB=4结论“AD=错误;

⑤∵D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AMAB关于AC对称,点F的运动路径NBAB关于BC对称,EF扫过的图形就是图5中阴影部分,S阴影=2SABC=2×ACBC=ACBC=4×=EF扫过的面积为结论“EF扫过的面积为正确.

故答案为:①③⑤

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