Question

【题目】已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

Answer 1

【答案】（1）AD=A′D，（2）仍然成立：AD=A′D（3）60°

【解析】

试题分析：（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．

（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．

试题解析：答：（1）AD=A′D．

证明：如图1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，

∴BC=BC′，BA=BA′．

∵∠A′BC′=∠ABC=60°，

∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．

∴∠BAA′=∠BC′C=60°．

∵∠A′C′B=90°，

∴∠DC′A′=30°．

∵∠AC′D=∠BC′C=60°，

∴∠ADC′=60°．

∴∠DA′C′=30°．

∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．

∴AD=DC′，DC′=DA′．

∴AD=A′D．

（2）仍然成立：AD=A′D．

证法一：利用相似．如图2﹣1．

由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′

∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）

∴∠1=∠3．

设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC

∴△BOC∽△DOA．

∴∠2=∠4，．

连接BD，

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA．

∴∠5=∠6．

∵∠ACB=90°，

∴∠2+∠5=90°．

∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．

∵BA=BA′，∠ADB=90°，

∴AD=A′D．

证法二：利用全等．如图2﹣2．

过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．

由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，

∴∠4=∠5．

∵∠ACB=∠A′C′B=90°，

∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，

∴∠3=∠6．

∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．

在△ADE与△A′DC′中，

∴△ADE≌△A′DC′（ASA），

∴AD=A′D．

（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，

则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．

在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

．

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．

∴∠ABC=∠ABC′=60°．

∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．