Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．

（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．

（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．

（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

【答案】（1）PA的长为2；（2）PA：PC的值为1：1；（3）PA：PC的值为或．

【解析】试题分析：(1)B点到y轴的距离是2.（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，证明△ANP≌△CMP，可得PA：PC的值为1：1.(3)分类讨论，

若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，△ANP∽△CMP，证明四边形PMON是矩形，求出PA：PC值，若点P在线段OB的反向延长线上，，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，同理求出比值.

试题解析：

（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），

∴点P的坐标是（2，1）．

∴PA的长为2．

（2）如答图1，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，

∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．

∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．

∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．

∵∠APC=90°．∴∠APN=90°∠APM=∠CPM．

在△ANP和△CMP中，∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1．

（3）①若点P在线段OB的延长线上，如答图2，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴ .

∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．

∵AP⊥PC，∴EP=CP．

∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM= OA．

设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴ .

∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM= x．∴PM= x．

∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．

∵∠AOC=90°，∴OC= x．

∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

②若点P在线段OB的反向延长线上，如答图3，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F．

同理可得：PM= x，CA=2PF=4x，OC= x．

∴PN=OM= OC= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

综上所述：PA：PC的值为 或 ．