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【题目】如图,边长为4的正方形ABCD内接于⊙O,E是弧AB上的一动点(不与A,B重合),F是弧BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下结论:①;②△OGH是等腰直角三角形;③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△OGH周长的最小值为4+.其中正确的是(  )

A. ①③④ B. ①②③ C. ①② D. ③④

【答案】C

【解析】连接OA,OB,根据正方形的性质,知∠AOB=90°=∠EOF,又∠BOE共用,故可得∠AOE=∠BOF,再根据圆心角定理可得;故正确;

连接OB,OC,证明OGB≌△OHC,可得OG=OH,即可得出OGH是等腰直角三角形;故正确;

过点OOM⊥BC,ON⊥AB,易证得OGN≌△OHM,因此可得出SOGN=SOHM,故不管点E的位置如何变化,四边形OGBH的面积不变;故错误;

过点BB关于OF的对称点P(易知点P⊙O上),连接PH,则PH=BH;过点BB关于OE的对称点Q(易知点Q⊙O上),连接QG,则QG=BG;连接PQ,易证明PQ过圆心O,则PQ==4≠4+,故错误.

①如图所示,

∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE与△COF中,

∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
,①正确;
②∵BE=CF,
∴△BOG≌△COH;
∵∠BOG=∠COH,∠COH+∠OBF=90°,
∴∠GOH=90°,OG=OH,
∴△OGH是等腰直角三角形,②正确.
③如图所示,

∵△HOM≌△GON,
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积,③错误;
④过点BB关于OF的对称点P(易知点P在⊙O上),连接PH,则PH=BH;过点BB关于OE的对称点Q(易知点Q在⊙O上),连接QG,则QG=BG;

连接PQ,易证明PQ过圆心O,

∴PQ==4≠4+

错误.

综上,①②正确,③④错误.

故选:C

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