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【题目】如图,点AB⊙O上,直线AC⊙O的切线,OC⊥OB,连接ABOC于点D

1ACCD相等吗?为什么?

2)若AC=2AO=,求OD的长度.

【答案】1AC=CD2OD=1

【解析】

解:(1AC=CD,理由如下:

∵OA=OB∴∠OAB=∠B

直线AC为圆O的切线,∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°

∵OB⊥OC∴∠BOC=90°∴∠ODB+∠B=90°

∵∠ODB=∠CDA∴∠CDA+∠B=90°

∴∠DAC=∠CDA∴AC=CD

2)在Rt△OAC中,AC=CD=2AO=OC=OD+DC=OD+2

根据勾股定理得:OC2=AC2+AO2,即(OD+22=22+2

解得:OD=1(负值已舍去)。

1AC=CD,理由为:由AC为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC为直角,再由OCOB垂直,得到∠BOC为直角,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等,利用等角对等边即可得证。

2)由ODC=OD+DCDC=AC,表示出OC,在直角三角形OAC中,利用勾股定理即可求出OD的长。

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A. ①③④ B. ①②③ C. ①② D. ③④

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