Question

13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；
（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PD=$\frac{3}{2}$，
∴PC=3，AB=$\sqrt{3}$，
∴菱形ACBP的面积=$\frac{1}{2}$AB•PC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．