Question

12．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）当x₁=x₂，求实数k的值；
（2）是否存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出△=0，得出关于k的方程，求出方程的解即可；
（2）假设存在，得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2k+1）+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．x₁=x₂，
∴△=0，
即[-（2k+1）]²-4×1×（k²+2k）=0，
解得：k=$\frac{1}{4}$；

（2）根据根与系数的关系得：x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+2k，
假设存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立，
x₁•x₂-（x₁²+x₂²）≥0，
x₁•x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]≥0，
代入得：（k²+2k）-[（2k+1）²-2（k²+2k）]≥0，
即-（k-1）²≥0，
解得：k=1，
所以存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立，k的值是1．

点评 本题考查了解不等式，根与系数的关系，根的判别式的应用，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．