Question

4．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，AG是∠DAE的平分线，分别交DE，BC于点F，G，连接CE，∠GAC=25°，下面结论正确的是①③④（填序号）．
①∠BAD=∠CAE；
②tan∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③AG∥CE；
④2AF+CE=BE；
⑤AD=CG．

Answer 1

分析 根据已知一对直角相等，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由两对边相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=BD，∠CAE=∠BAD，由题意确定出三角形ABF为直角三角形，求出∠ABE度数，进而求出tan∠ABE的值；根据题意确定出一对内错角相等，进而得到AG与CE平行，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ED=2AF，再由CE=DB，根据BE=ED+DB，等量代换得到2AF+CE=BE；AD不一定等于CG．

解答 解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∠CAE=∠BAD，选项①正确；
∵AG平分∠DAE，
∴∠GAE=∠GAD=45°，
∵∠GAC=20°，
∴∠CAE=∠BAD=20，
∴∠BAF=∠DAF+∠DAB=65°，
∵AD=AE，F为DE中点，
∴AG⊥DE，
在Rt△ABF中，∠ABF=20°，故tan∠ABE≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即选项②错误；
∵∠ACE=∠GAC=20°，
∴AG∥CE，选项③正确；
∵AF=$\frac{1}{2}$DE，即DE=2AF，CE=BD，
∴BE=ED+DB=2AF+CE，选项④正确；
AD不一定等于CG，选项⑤错误，
故答案为：①③④

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．