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    2．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．
    （1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=$\frac{1}{2}AE$；
    （2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；
    （3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．

    分析 （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论；
    （2）作EG⊥AC于G，根据角平分线的性质得出BE=EG，进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后证得△EGC是等腰直角三角形，从而证得EG=GC，即可证得AB+BE=AC；
    （3）设正方形的边长为1，则AB=AD=1，BE=EC=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理求得AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，然后通过证得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，对应边成比例证得CF=AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后根据SAS证得△ABH≌△CBF，证得BH=BF，∠ABH=∠CBF，从而证得△HBF是等腰直角三角形，从而证得∠BHF=45°．

    解答 （1）证明：如图1，∵AC=EC，CF⊥AE，
    ∴AF=EF，
    ∴BF是RT△ABE的斜边的中线，
    ∴BF=$\frac{1}{2}$AE；
    （2）如图2，作EG⊥AC于G，
    ∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，
    ∴BE=EG，
    在RT△ABE和RT△AGE中
    $\left\{\begin{array}{l}{BE=GE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
    ∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
    ∴AG=AB，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠ACB=45°，
    ∴∠GEC=45°，
    ∴∠GEC=∠ACB=45°，
    ∴EG=GC，
    ∴AB+BE=AG+GC，
    即AB+BE=AC；
    （3）如图3，设正方形的边长为1，则AB=AD=1，
    ∵点E是BC中点，
    ∴BE=EC=$\frac{1}{2}$，
    ∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
    ∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，
    ∴△AEB∽△CEF，
    ∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{CF}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
    ∴CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠DAH=∠AEB，
    ∵∠AHD=∠BEA=90°，
    ∴△ADH∽△EAB，
    ∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AH}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
    ∴AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
    ∴CF=AH，
    在△ABH和△CBF中
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
    ∴△ABH≌△CBF（SAS），
    ∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
    ∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，
    ∴∠HBF=90°，
    ∴△HBF是等腰直角三角形，
    ∴∠BHF=45°．

    点评 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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