Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知抛物线y=ax²-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，过点C的直线y=x+b与x轴交于B点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BC的垂线交抛物线于点E，求E点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，点P在直线BC下方的抛物线上，直线EP交直线BC于点F，当S_△ECF=5S_△CPF时，求点P的横坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的判定与性质，可得AD与DE的关系，根据解方程，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{EG}{GH}$=$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$，根据解方程，可用a表示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得关于a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案．

解答 解：（1）抛物线y=ax²-2x-3当x=0时，y=-3，即C（0，-3），
将C代入直线y=x+b，得b=-3，即直线的解析式为y=x-3，
当y=0时，x-3=0，解得x=3，即B点坐标（3，0）．
将B点坐标代入抛物线的解析式，得
9a-6-3=0，
解得a=1，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）如图1：
，
设E点的坐标为（m，m²-2m-3），
过E作ED⊥x轴于D点，OB=OC，∠OBC=45°．
∵BE⊥BC，
∴∠EBD=45°，
BD=ED，即3-m=m²-2m-3，
解得m=-2，m=3（不符合题意的解要舍去），
m²-2m-3=（-2）²-2×（-2）-3=5，
即E（-2，5）
（3）如图2：
，
过F作FG⊥ED于G点，过P作PH⊥ED于H，PH∥CF，
△EGF∽△EHP，
$\frac{EF}{FP}$=$\frac{EG}{GH}$=$\frac{FG}{PH-FG}$．
设F（a，a-3），S_△ECF=5S_△CPF时，$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$．
EG=5-（a-3）=8-a，GH=a-3-y，
$\frac{EG}{GH}$=$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$，即$\frac{8-a}{a-3-y}$=$\frac{5}{1}$，
解得y=$\frac{6a-23}{5}$，
同理可得，x=$\frac{6a+2}{5}$，即P（$\frac{6a+2}{5}$，$\frac{6a-23}{5}$），
将P代入抛物线的解析式，得$\frac{6a-23}{5}$=（$\frac{6a+2}{5}$）²-2×$\frac{6a+2}{5}$-3，
化简，得6a²-11a+4=0，
解得a=$\frac{4}{3}$或a=$\frac{1}{2}$．
当a=$\frac{4}{3}$时，x=$\frac{6×\frac{4}{3}+2}{5}$=2，
当a=$\frac{1}{2}$时，x=$\frac{6×\frac{1}{2}+2}{5}$=1．
综上所述：点P的横坐标为2或1．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，（2）利用等腰直角三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键；（3）利用了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出P点坐标用a表示出来是解题关键．