Question

2．已知二次函数y=x²-2mx+m²-1（m≠0）的图象经过点（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；
（3）x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点（1，0）代入y=x²-2mx+m²-1，解方程求出m的值即可；
（2）令x=0，得y=3，即可得出C点坐标．将抛物线解析式配方成顶点式，即可得出顶点D的坐标；
（3）由两点之间线段最短知PC+PD≥CD，得出当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．由待定系数法求出直线CD的解析式，即可求出点P坐标．

解答 解：（1）把点（1，0）代入y=x²-2mx+m²-1，
得：1²-2m+m²-1=0，
解得：m=2，或m=0（不合题意，舍去），
∴m=2，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3；
（2）令x=0，得y=3，
∴C点坐标为（0，3）．
将y=x²-4x+3配方得：y=（x-2）²-1，
∴D点坐标为（2，-1）．
（3）存在；点P的坐标为（1.5，0）．理由如下：
由两点之间线段最短知PC+PD≥CD，
∴当C，P，D三点共线时，PC+PD最短．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=3，
直线CD的解析式为：y=-2x+3，
当y=0时，x=1.5，
∴点P的坐标为（1.5，0）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、一次函数解析式的求法、抛物线的顶点坐标、抛物线与y轴的交点、最短线段问题等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数和一次函数解析式是解决问题的关键．