Question

14．如图，AD∥BC，∠PAB的平分线交于E，CE的延长线交AP于D，求证：AD+BC=AB．

Answer 1

分析 此题要通过构造全等三角形来求解，延长AE交BC的延长线于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE=∠M，即AB=BM，因此直线证得AD=MC即可；在等腰△ABM中，BE是顶角的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知：E是AM的中点，即AE=EM，而PA∥BM，即可证得△ADE≌△MCE，从而得到所求的结论．

解答 证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{BE=BE}\\{∠AEB=MEB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠M}\\{AE=ME}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．

点评 此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，同时还涉及了角平分线定义、平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．