Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

（1）求证：△PAB∽△PBC

（2）求证：PA=2PC

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）结合题意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC；

（2）根据（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；

（3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根据△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC

又∠APB=135°，

∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∵∠APB=∠BPC=135°，

∴△PAB∽△PBC；

（2）∵△PAB∽△PBC，

∴，

在Rt△ABC中，AC=BC，

∴,

∴

∴PA=2PC；

（3）

过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,

又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°

∴∠EAP=∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即，∴

∵△PAB∽△PBC，

∴

即.