Question

【题目】如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于坐标轴上的两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴轴平行线分别交直线于点和点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示的周长，并求出当的周长取得最大值(不需要求出此最大值)时点的坐标；

（3）点是直线上一点，点是抛物线上一点，在第二问的周长取得最大值的条件下，请直接写出使以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）周长，；（3）点的坐标为或

【解析】

（1）先利用一次函数解析式，求出A，B坐标，再代入，求出b，c即可得到二次函数解析式；

（2）设点，可得出PQ的表达式，易证为等腰直角三角形，即可得出，再利用二次函数的性质可得出周长最大时M的坐标；

（3）设，，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分别讨论PC，PQ，PD为对角线，建立方程求解．

解：（1）令中为0得y=4，则，

令y=0，得，解得，则

分别将点的坐标代人到，

得，解得

∴二次函数的解析式为．

（2）由题意设点，

则．

∵，

∴，

∵轴， 轴，

∴，即为等腰直角三角形．

设的周长为，则，

即．

当时，的周长取得最大值，

将代入到中可得，，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∴

（3）设，，

在（2）的条件下P点坐标为，Q点坐标为

①当PC为对角线时，

，解得

此时C与Q点重合，不符合题意，舍去；

②当PQ为对角线时，

，解得

此时C与Q点重合，不符合题意，舍去；

③当PD为对角线时，

，解得或

当时，，即

当时，，即

综上，点的坐标为或．