Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；

（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；

（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．

【解析】

（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D点在对称轴时是△DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可 （3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易证△ABF∽△EHF，得,得EH=2，设E（x，），则H（x﹣2，），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E点坐标 （4）△PBN是等腰三角形，分成三种情况，①BP＝BC时，利用等腰三角性质直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH从而得到 PH＝BH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点坐标

解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，

得

解得a＝，b＝，

∴抛物线的解析式；

（2）

∴抛物线对称轴为直线x＝1，

∴D的横坐标为1，

由（1）可得C（0，4），

∵B（3，0），

∴直线BC：

∵DA＝DB，

△DAC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，

连接BC，与对称轴交于点D，

此时CD+BD最小，

∵AC为定值，

∴此时△DAC的周长，

当x＝1时，y＝﹣×1+4＝，

∴D（1，）；

（3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，

∴△ABF∽△EHF，

∵AF：FE＝2：1，

∴，

∵AB＝4，

∴EH＝2，

设E（x，），则H（x﹣2，）

∵EH∥AB，

∴yE＝yH，

∴=

解得x＝1或x＝2，

y＝或4，

∴E（1，）或（2，4）；

（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）

∴AB＝4，OC＝4，

点M运动到点A时，BM＝AB＝4，

∴BN＝4，

∵△PBN是等腰三角形，

①BP＝BC时，

若P在点B左侧，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，

∴P1（﹣1，0），

若P在点B右侧，OP＝OB+BP＝4+3＝7，

∴P2（7，0）；

②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，

△NHB∽△COB，

∴

∴NH＝OC＝＝，

BH＝BC＝，

∴PH＝BH＝，

BP＝，

∴OP＝BP﹣OB＝，

∴P3（﹣，0）；

③当PN＝PB时，

取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，

∴△NOB∽△PKB，

∴

∴PB＝，

∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝

P4（，0）

综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．