【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3.(2)(1,2).(3)M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).
【解析】
试题分析:(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.
(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.
试题解析:(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:
∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.
(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;
∵点A、B关于直线l对称,
∴PA=PB,
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:
,解得:
∴直线BC的函数关系式y=-x+3;
当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).
(3)抛物线的对称轴为:x=-=1,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),则:
MA2=m2+4,MC2=(3-m)2+1=m2-6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2,得:
m2+4=m2-6m+10,得:m=1;
②若MA=AC,则MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:m=±;
③若MC=AC,则MC2=AC2,得:
m2-6m+10=10,得:m1=0,m2=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点,且坐标为M(1,)(1,-)(1,1)(1,0).
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【题目】如图,若每个小正方形的边长均为1,试解决以下问题:
(1)图中阴影部分的面积是多少?
(2)阴影部分正方形的边长是多少?
(3)估计边长的值在哪两个整数之间?
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【题目】某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查,根据每车乘坐人数分为5类,每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.
类别 | 频率 |
A | m |
B | 0.35 |
C | 0.20 |
D | n |
E | 0.05 |
(1)求本次调查的小型汽车数量及m,n的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆,请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.
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【题目】如图所示,写出△ABC各顶点的坐标以及△ABC关于x对称的△A1B1C1的各顶点坐标,并画出△ABC关于y对称的△A2B2C2.并求△ABC的面积。
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【题目】某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,根据跳水运动员的年龄(单位:岁),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的跳水运动员人数为 ,图①中的值为 ;
(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D.
(1)如图①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC,求∠CDO的大小.
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【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为_____.
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【题目】下列结沦中,错误的有( )
①Rt△ABC中,已知两边分别为3和4,则第三边的长为5;②三角形的三边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,则∠A=90°;③若△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6,则这个三角形是一个直角三角形;④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立,则M=4xy.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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