Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：角的计算

专题：

分析：（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；
（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．

解答：解：（1）∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，

当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°-10°t=210°-10°t
∴90°+10°t=210°-10°t
即t=6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°-120°=60°
∵∠CON=∠BOC-∠BON=120°-（10°t-90°）=210°-10°t
∴210°-10°t=60°
即t=15；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∵∠CON=∠BON-∠BOC=（10°t-90°）-120°=10°t-210°
∴10°t-210°=30°
即t=24；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t-180°-90°=10°t-270°
∴10°t-270°=60°
即t=33．
故t的值为6、15、24、33．

（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°

点评：本题主要考查角的和、差关系，此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．